"తెలుగులో సులువుగా టైపు చేసేందుకు, మీ క్రోమ్ బ్రౌజరు లో గూగుల్ లిప్యంతరీకరణ పద్ధతిని వాడవచ్చు."

Difference between revisions of "పైథాగరస్ సిద్ధాంతం బోధాయన ప్రమేయం"

From tewiki
Jump to navigation Jump to search
(Created page with '==పరిచయం== ప్రాచీన కాలం లో జ్యామితీయ గణితం (జ్యామెట్రీ) ను శుల్...')
 
m
Line 2: Line 2:
 
ప్రాచీన కాలం లో జ్యామితీయ గణితం (జ్యామెట్రీ) ను శుల్బ గణితము లేక రుజ్జు గణితము అనేవారు. అనగా జ్యామీతీయ గణితము శుల్బ సూత్రముల అంతర్గతంగా ఉండేది. గ్రీకు దేశ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడైన పైథాగరస్ కు ఒక వెయ్యి సంవత్సరముల పూర్వమే బోధాయనుడు అనే భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త మనం ఇప్పుడు చెప్పుకుంటున్న పైథాగరస్ సిద్దాంతము అనే దానిని నిరూపించి, చక్కగా వివరించాడు.
 
ప్రాచీన కాలం లో జ్యామితీయ గణితం (జ్యామెట్రీ) ను శుల్బ గణితము లేక రుజ్జు గణితము అనేవారు. అనగా జ్యామీతీయ గణితము శుల్బ సూత్రముల అంతర్గతంగా ఉండేది. గ్రీకు దేశ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడైన పైథాగరస్ కు ఒక వెయ్యి సంవత్సరముల పూర్వమే బోధాయనుడు అనే భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త మనం ఇప్పుడు చెప్పుకుంటున్న పైథాగరస్ సిద్దాంతము అనే దానిని నిరూపించి, చక్కగా వివరించాడు.
 
==సిద్ధాంత ప్రతిపాదన==
 
==సిద్ధాంత ప్రతిపాదన==
ఈ ప్రసిద్ధ సిద్ధాంతాన్ని ఎలా ప్రతిపాదించాడో ఒకసారి పరిశీలిద్దాం.
+
ఈ ప్రసిద్ధ సిద్ధాంతాన్ని ఎలా ప్రతిపాదించాడో ఒకసారి పరిశీలిద్దాం.
 +
 
 
దీర్ఘ చతురస్ర స్యా‌క్ష్ణయా రజ్జూః పార్శ్వమానీ తిర్యక్ మానీ |
 
దీర్ఘ చతురస్ర స్యా‌క్ష్ణయా రజ్జూః పార్శ్వమానీ తిర్యక్ మానీ |
 +
 
యత్ పృథక్ భూతే కురుతస్త దుభయం కరోతి ||
 
యత్ పృథక్ భూతే కురుతస్త దుభయం కరోతి ||
 +
 
అనగా దీని అర్థం - ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము మీది చతురస్రం యొక్క వైశాల్యము మిగిలిన రెండు భుజాల మీది చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానము. శుల్బ సూత్రాలలో బోధాయనుడు ఈ సూత్రాన్ని తెలిపాడు. దీనిని చదివిన వెంటనే మనకొక విషయం తెలుస్తుంది. ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము (BC), పొడవు(AB), వెడల్పు(AC) ఉన్నట్లైతే బోధాయన ప్రమేయం (BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 అవుతుంది.దీనినే ఇప్పుడు మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అని చెప్పుకుంటున్నాం. పైథాగరస్ శుల్బ సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత దీనిని తన గ్రంథం లో వ్రాసి ఉంటాడు. ఏది ఏమైనా మన ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆధునిక గణిత శాస్త్రవేత్తలకన్నా ఎంతో ముందున్నరనేది సత్యం.
 
అనగా దీని అర్థం - ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము మీది చతురస్రం యొక్క వైశాల్యము మిగిలిన రెండు భుజాల మీది చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానము. శుల్బ సూత్రాలలో బోధాయనుడు ఈ సూత్రాన్ని తెలిపాడు. దీనిని చదివిన వెంటనే మనకొక విషయం తెలుస్తుంది. ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము (BC), పొడవు(AB), వెడల్పు(AC) ఉన్నట్లైతే బోధాయన ప్రమేయం (BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 అవుతుంది.దీనినే ఇప్పుడు మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అని చెప్పుకుంటున్నాం. పైథాగరస్ శుల్బ సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత దీనిని తన గ్రంథం లో వ్రాసి ఉంటాడు. ఏది ఏమైనా మన ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆధునిక గణిత శాస్త్రవేత్తలకన్నా ఎంతో ముందున్నరనేది సత్యం.
 
==ఇతర సిద్దాంతాలు==                                                   
 
==ఇతర సిద్దాంతాలు==                                                   
 
బోధాయనుడు ఈ ప్రసిద్ధ సిద్దాంతము తో పాటు మరికొన్ని సిద్ధాంతములు తెల్పాడు. అవి:
 
బోధాయనుడు ఈ ప్రసిద్ధ సిద్దాంతము తో పాటు మరికొన్ని సిద్ధాంతములు తెల్పాడు. అవి:
 +
 
1. ఏదేని ఒక దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క కర్ణం ఆ చతురస్రం ను రెండు సమభాగాలుగా చేస్తుంది.
 
1. ఏదేని ఒక దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క కర్ణం ఆ చతురస్రం ను రెండు సమభాగాలుగా చేస్తుంది.
 +
 
2. దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క రెండు కర్ణాలు పరస్పరము సమద్విఖందన చేసుకుంటాయి.
 
2. దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క రెండు కర్ణాలు పరస్పరము సమద్విఖందన చేసుకుంటాయి.
 +
 
3. సమ చతుర్భుజము (రాంబస్) యొక్క కర్ణాలు పరస్పరం లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.
 
3. సమ చతుర్భుజము (రాంబస్) యొక్క కర్ణాలు పరస్పరం లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.
 +
 
ఇలా ఎన్నో సూత్రాలు బోధాయనుడు శుల్బ సూత్రాలలో తెలిపాడు. బోధాయనుడు, ఆపస్తంబుడు - ఈ ఇద్దరు మాత్రమే ఏదేని ఒక చతురస్రం యొక్క కర్ణము మరియు దాని భుజముల యొక్క అనుపాతమును మొట్టమొదటి సారిగా ఖచ్చితంగా చెప్పారు.
 
ఇలా ఎన్నో సూత్రాలు బోధాయనుడు శుల్బ సూత్రాలలో తెలిపాడు. బోధాయనుడు, ఆపస్తంబుడు - ఈ ఇద్దరు మాత్రమే ఏదేని ఒక చతురస్రం యొక్క కర్ణము మరియు దాని భుజముల యొక్క అనుపాతమును మొట్టమొదటి సారిగా ఖచ్చితంగా చెప్పారు.
 
భాస్కరాచర్యుడు తన లీలావతి గణితం లో ఏదేని ఒక వృత్తం లో గీసిన సమ చతుర్భుజ, పంచభుజ షడ్భుజ, అష్ఠభుజముల తదితర సమబాహుభుజుల యొక్క ఒక భుజము ఆ వృత్తము యొక్క వ్యాసమునకు ఒక నిశ్చితమగు అనుపాతములో ఉంటుంది అని తెలిపాడు.
 
భాస్కరాచర్యుడు తన లీలావతి గణితం లో ఏదేని ఒక వృత్తం లో గీసిన సమ చతుర్భుజ, పంచభుజ షడ్భుజ, అష్ఠభుజముల తదితర సమబాహుభుజుల యొక్క ఒక భుజము ఆ వృత్తము యొక్క వ్యాసమునకు ఒక నిశ్చితమగు అనుపాతములో ఉంటుంది అని తెలిపాడు.
Line 17: Line 24:
  
 
ఆర్యభట్ట BC విలువ త్రిజ్యా (OB) × జ్యా = E  
 
ఆర్యభట్ట BC విలువ త్రిజ్యా (OB) × జ్యా = E  
 +
 
BA(OC) విలువ త్రి జ్యా (OB) × కోటీ జ్యా = E అని చెప్పాడు.  
 
BA(OC) విలువ త్రి జ్యా (OB) × కోటీ జ్యా = E అని చెప్పాడు.  
 +
 
నేటి త్రికోణమితి ని అనుసరించి దీనిని ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు.
 
నేటి త్రికోణమితి ని అనుసరించి దీనిని ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు.
 +
 
ఎదుటి భుజం= కర్ణం× సైన్ => sine= ఎదుటి భుజం/కర్ణం
 
ఎదుటి భుజం= కర్ణం× సైన్ => sine= ఎదుటి భుజం/కర్ణం
 +
 
ఆసన్న భుజం = కర్ణం× కొసైన్ => cos = ఆసన్న భుజం/కర్ణం.
 
ఆసన్న భుజం = కర్ణం× కొసైన్ => cos = ఆసన్న భుజం/కర్ణం.
 
==ముగింపు==
 
==ముగింపు==
 
పై (π) యొక్క విలువను కూడా ఆర్యభట్ట 1500 సంవత్సరాల పూర్వమే కనుగొన్నాడు. ఈ విషయము అక్బరు కొలువులో ఉన్న అబుల్ ఫజల్ 'ఆయనే అక్బరీ' లో రాశాడు. పూరీ జగద్గురు శంకరాచార్యులు, శ్రీ భారతీ కృష్ణ తీర్థ స్వామి ఎనమిది సంవత్సరాలు సాధన చేసి ఒక నూతన గణిత పద్ధతిని కనుగొన్నారు.దానికి ' వైదిక గణితము ' అని పేరు పెట్టారు. ఈ విధంగా చాలా రకాలైన గణిత సంబంధ సూత్రాలు ,సిద్ధాంతాలు మన భారతీయ పూర్వీకులు అనాది కాలం లో నే కనుగొనడం జరిగింది.
 
పై (π) యొక్క విలువను కూడా ఆర్యభట్ట 1500 సంవత్సరాల పూర్వమే కనుగొన్నాడు. ఈ విషయము అక్బరు కొలువులో ఉన్న అబుల్ ఫజల్ 'ఆయనే అక్బరీ' లో రాశాడు. పూరీ జగద్గురు శంకరాచార్యులు, శ్రీ భారతీ కృష్ణ తీర్థ స్వామి ఎనమిది సంవత్సరాలు సాధన చేసి ఒక నూతన గణిత పద్ధతిని కనుగొన్నారు.దానికి ' వైదిక గణితము ' అని పేరు పెట్టారు. ఈ విధంగా చాలా రకాలైన గణిత సంబంధ సూత్రాలు ,సిద్ధాంతాలు మన భారతీయ పూర్వీకులు అనాది కాలం లో నే కనుగొనడం జరిగింది.

Revision as of 14:48, 5 April 2021

పరిచయం

ప్రాచీన కాలం లో జ్యామితీయ గణితం (జ్యామెట్రీ) ను శుల్బ గణితము లేక రుజ్జు గణితము అనేవారు. అనగా జ్యామీతీయ గణితము శుల్బ సూత్రముల అంతర్గతంగా ఉండేది. గ్రీకు దేశ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడైన పైథాగరస్ కు ఒక వెయ్యి సంవత్సరముల పూర్వమే బోధాయనుడు అనే భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త మనం ఇప్పుడు చెప్పుకుంటున్న పైథాగరస్ సిద్దాంతము అనే దానిని నిరూపించి, చక్కగా వివరించాడు.

సిద్ధాంత ప్రతిపాదన

ఈ ప్రసిద్ధ సిద్ధాంతాన్ని ఎలా ప్రతిపాదించాడో ఒకసారి పరిశీలిద్దాం.

దీర్ఘ చతురస్ర స్యా‌క్ష్ణయా రజ్జూః పార్శ్వమానీ తిర్యక్ మానీ |

యత్ పృథక్ భూతే కురుతస్త దుభయం కరోతి ||

అనగా దీని అర్థం - ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము మీది చతురస్రం యొక్క వైశాల్యము మిగిలిన రెండు భుజాల మీది చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానము. శుల్బ సూత్రాలలో బోధాయనుడు ఈ సూత్రాన్ని తెలిపాడు. దీనిని చదివిన వెంటనే మనకొక విషయం తెలుస్తుంది. ఏదేని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం లో కర్ణము (BC), పొడవు(AB), వెడల్పు(AC) ఉన్నట్లైతే బోధాయన ప్రమేయం (BC)^2=(AB)^2+(AC)^2 అవుతుంది.దీనినే ఇప్పుడు మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అని చెప్పుకుంటున్నాం. పైథాగరస్ శుల్బ సూత్రాలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత దీనిని తన గ్రంథం లో వ్రాసి ఉంటాడు. ఏది ఏమైనా మన ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆధునిక గణిత శాస్త్రవేత్తలకన్నా ఎంతో ముందున్నరనేది సత్యం.

ఇతర సిద్దాంతాలు

బోధాయనుడు ఈ ప్రసిద్ధ సిద్దాంతము తో పాటు మరికొన్ని సిద్ధాంతములు తెల్పాడు. అవి:

1. ఏదేని ఒక దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క కర్ణం ఆ చతురస్రం ను రెండు సమభాగాలుగా చేస్తుంది.

2. దీర్ఘ చతురస్రము యొక్క రెండు కర్ణాలు పరస్పరము సమద్విఖందన చేసుకుంటాయి.

3. సమ చతుర్భుజము (రాంబస్) యొక్క కర్ణాలు పరస్పరం లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

ఇలా ఎన్నో సూత్రాలు బోధాయనుడు శుల్బ సూత్రాలలో తెలిపాడు. బోధాయనుడు, ఆపస్తంబుడు - ఈ ఇద్దరు మాత్రమే ఏదేని ఒక చతురస్రం యొక్క కర్ణము మరియు దాని భుజముల యొక్క అనుపాతమును మొట్టమొదటి సారిగా ఖచ్చితంగా చెప్పారు. భాస్కరాచర్యుడు తన లీలావతి గణితం లో ఏదేని ఒక వృత్తం లో గీసిన సమ చతుర్భుజ, పంచభుజ షడ్భుజ, అష్ఠభుజముల తదితర సమబాహుభుజుల యొక్క ఒక భుజము ఆ వృత్తము యొక్క వ్యాసమునకు ఒక నిశ్చితమగు అనుపాతములో ఉంటుంది అని తెలిపాడు.

త్రికోణమితి క్యాలికులస్ (కలన గణితము)

త్రికోణమితి శాస్త్రానికి ఆధారము బోధాయన ప్రమేయమే. కనుక త్రికోణమితి సూత్రములు అన్నీ సహజంగానే శుల్బ సూత్రములు లో వివరింపబడినవి. భారతీయులు చెప్పిన జ్యా మరియు కోటిజ్యా శబ్దములు పాశ్చాత్యుల వద్దకు చేరి sine, cosine గా మారినవి. జ్యా శబ్దము ధనుస్సు యొక్క దారము నుండి వచ్చింది. పక్కన ఇచ్చిన చిత్రంలో లో DB - సగం ధనస్సు లాగా ఉంది. BC- దాని దారం లో సగం వలె ఉంది. OC - కోటీ జ్య అని చెప్పబడింది. వృత్తము యొక్క వ్యాసార్ధము తో జ్యా (BC) మరియు కోటి జ్యా (OC) ల యొక్క విలువ తెలుసుకునే పద్ధతిని భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులే కనుగొన్నారు. కోణము BOC E అనుకున్నట్లయితే కోణము E యొక్క లెక్కను అనుసరించి జ్యా మరియు కోటీ జ్యా లయొక్క విలువను మొదట ఆర్యభట్ట కనుగొన్నాడు.

ఆర్యభట్ట BC విలువ త్రిజ్యా (OB) × జ్యా = E

BA(OC) విలువ త్రి జ్యా (OB) × కోటీ జ్యా = E అని చెప్పాడు.

నేటి త్రికోణమితి ని అనుసరించి దీనిని ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు.

ఎదుటి భుజం= కర్ణం× సైన్ => sine= ఎదుటి భుజం/కర్ణం

ఆసన్న భుజం = కర్ణం× కొసైన్ => cos = ఆసన్న భుజం/కర్ణం.

ముగింపు

పై (π) యొక్క విలువను కూడా ఆర్యభట్ట 1500 సంవత్సరాల పూర్వమే కనుగొన్నాడు. ఈ విషయము అక్బరు కొలువులో ఉన్న అబుల్ ఫజల్ 'ఆయనే అక్బరీ' లో రాశాడు. పూరీ జగద్గురు శంకరాచార్యులు, శ్రీ భారతీ కృష్ణ తీర్థ స్వామి ఎనమిది సంవత్సరాలు సాధన చేసి ఒక నూతన గణిత పద్ధతిని కనుగొన్నారు.దానికి ' వైదిక గణితము ' అని పేరు పెట్టారు. ఈ విధంగా చాలా రకాలైన గణిత సంబంధ సూత్రాలు ,సిద్ధాంతాలు మన భారతీయ పూర్వీకులు అనాది కాలం లో నే కనుగొనడం జరిగింది.